Question

已知函数y=sin（3x+）+1．
（1）求y取最大值和最小值时相应的x的值；
（2）求函数的单调递增区间和单调递减区间；
（3）它的图象可以由正弦曲线经过怎样的图形变换所得出？

Answer 1

解：（1）由3x+=2kπ+，k∈z，可得x=kπ+（k∈Z）； 此时，y取最大值．
由3x+=2kπ-，k∈z，可得x=kπ-，（k∈Z），此时，y取最小值．
综上，可得y取最大值时，相应的x的值为x=kπ+（k∈Z）；y取最小值时，相应的x的值为x=kπ-，k∈Z．
（2）由 2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，
故函数单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．
由 2kπ+≤3x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，
故函数单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（3）先将正弦曲线上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到y= sin3x 的图象．
再将所得图象向左平移个单位，然后将所得图象上每一点的纵坐标变为原来的（横坐标不变），
得到y=sin（3x+）的图象．
最后将所得图象向上平移一个单位，即可得到y=sin（3x+）+1的图象．
分析：（1）由3x+=2kπ+，k∈z，和 3x+=2kπ-，k∈z，求得x的值，即为所求．
（2）由 2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即得函数的增区间；由2kπ+≤3x+≤2kπ+，
k∈z，求得x的范围，即得函数的减区间．
（3）先将y=sinx上每一点的横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移个单位，然后将所得图象上每一点的纵坐标变为原来的，再把所得图象向上平移一个单位，即可得到y=sin（3x+）+1的图象．
点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，求三角函数的单调区间和最值的方法，属于中档题．