Question

在直角坐标系中，过双曲线x2-

y2

9

=1的左焦点F作圆x²+y²=1的一条切线（切点为T）交双曲线右支于P，若M为线段FP的中点，则OM-MT=

 

．

Answer 1

分析：利用双曲线的性质求出PE和OM；利用解三角形的方法把各边长MF和FT求出来进而把MT表示出来；代入即可求OM-MT的值．

解答：解：设PF=2x，则由双曲线的定义得：PE=2x-2，所以OM=

PE

2

=x-1，
又因为MT=FT-MF=FT-

PF

2

=

OF2-OT2

-x=

c2-a2

-x=3-x，
∵（3-x）²+1=（x-1）²
∴x=

9

4

故OM-MT=x-1-（3-x）=2x-4=

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：本题主要考查双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．是对基础知识的综合考查，属于中档题目．