Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；
（仅理科做） （3）当t∈[-1，2]时，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，所以f（0）==0，可得b=1，
∴，取f（-1）=-f（1）得=，解之得a=2
因此，，满足=-=-f（x），符合题意
所以a=2，b=1
（2）由（1）得，=，设x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=-（）=
∵y=2^x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，
∴-＞0，+1＞0且+1＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
∴由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即对任意t∈R有：3t²-2t-k＞0，
∴△=4+12k＜0?k＜-，即实数k的取值范围是（-∞，-）．
分析：（1）利用特殊值：f（0）=0且f（-1）=-f（1），建立关于a、b的等式并解得a=2，b=1，再将其代入函数表达式加以检验即可；
（2）根据单调性的定义，设x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差，再通分整理，可得这个差是一个正数，从而得到f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数；
（3）根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式恒成立转化为关于t的一元二次不等式3t²-2t-k＞0恒成立，再利用一元二次不等式解法结合根的判别式，可求出k的取值范围．
点评：本题给出一个含有指数式的分式形式的函数，叫我们讨论它的单调性与奇偶性，着重考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了一元二次不等式恒成立问题等知识，属于中档题．