Question

设f(x)=(x2+

4

x2

-4)5，求：
（1）f（x）的展开式中x⁴的系数；    （2）f（x）的展开式中所有项的系数之和．

Answer 1

分析：（1）化简f（x）的解析式为(x-

2

x

)10，由通项公式 T_r+1=（-2）^rC₁₀^rx^10-2r，令10-2r=4 求得 r的值，即得
展开式中x⁴的系数为 （-2）^rC₁₀^r 的值．
（2）由于展开式中各项系数和与未知数无关，故令x=1代入f（x）可得展开式中所有项的系数之和．

解答：解：（1）f(x)=(x2+

4

x2

-4)5=(x-

2

x

)10，通项公式为T_r+1=C₁₀^r x^10-r （-2）^r x^-r=（-2）^rC₁₀^r x^10-2r，
令10-2r=4，r=3，故展开式中x⁴的系数为 （-2）^rC₁₀^r=（-2）³C₁₀³=-960．
（2）由于展开式中各项系数和与未知数无关，故令x=1代入f（x）可得展开式中所有项的系数之和为1．

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，以及展开式中各项系数和的求法．