Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，

1+cos x 2

2

）
（1）若

m

•

n

=1，求cos（

π

3

+x）的值；
（2）记f（x）=

m

•

n

，在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式即可得出；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，利用两角和的正弦公式和三角形内角和定理可得cosB=

1

2

，利用△ABC是锐角三角形，可得B=

π

3

．由（1）可知：f（x）=

m

•

n

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

．即可得到f（A）=sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

．利用锐角三角形的意义可得A的取值范围，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=1，∴

3

sin

x

4

cos

x

4

+

1+cos x 2

2

=1，
化为

3

sin

x

2

+cos

x

2

=1，∴2(

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

)=1，∴sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

．
∴cos(x+

π

3

)=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)=1-2×(

1

2

)2=

1

2

．
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
化为2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵△ABC是锐角三角形，∴cosB=

1

2

，解得B=

π

3

．
由（1）可知：f（x）=

m

•

n

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

．
∴f（A）=sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

．
∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，∴0＜C=

2π

3

-A＜

π

2

，又0＜A＜

π

2

．
∴

π

6

＜A＜

π

2

．
∴

π

4

＜

A

2

+

π

6

＜

5π

12

．
∴

2

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜

2 + 6

4

，
∴

2 +1

2

＜f(x)＜

2+ 2 + 6

4

．
即函数f（A）的取值范围是(

2 +1

4

，

2 2 +6

4

)．

点评：本题综合考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦定理、两角和的正弦公式和三角形内角和定理、锐角三角形的意义、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了综合解决问题的能力，属于难题．