Question

已知中心在原点的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦点为F1（0，3），M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF₁的面积为

3

2

．
（1）求椭圆C的方程．
（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相较于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程，请说明理由．．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C的焦点为F₁（0，3），可得椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

a2+9

=1，利用M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF₁的面积为

3

2

，求出M的坐标代入椭圆C的方程，即可确定椭圆C的方程；
（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程代入椭圆方程，消去y，可得一元二次方程，利用韦达定理，结合以线段AB为直径的圆恰好经过原点，

OA

•

OB

=0，即可求得结论．

解答：解：（1）因为椭圆C的焦点为F₁（0，3），∴b²=a²+9，则椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

a2+9

=1
∵M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF₁的面积为

3

2

∴

1

2

×3×x=

3

2

，∴x=1，∴M（1，4）
代入椭圆C的方程

x2

a2

+

y2

a2+9

=1，可得

1

a2

+

16

a2+9

=1
∴a⁴-8a²-9=0
∴a²=9
∴椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

18

=1；
（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程为y=4x+m，代入椭圆方程，消去y，可得18x²+8mx+m²-18=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8m

18

，x₁x₂=

m2-18

18

，
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+16x₁x₂+4m（x₁+x₂）+m²=0
∴17×

m2-18

18

-4m×

8m

18

+m²=0
∴m=±

102

此时△=64m²-72（m²-18）＞0
∴直线方程为y=4x±

102

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键．