Question

（2012•徐汇区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D，E分别是BC，AP的中点．
（1）求异面直线AC与ED所成的角的大小；
（2）求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．

Answer 1

分析：（1）解法一：欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形求出该角．本题中取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．再放入Rt△EFD中来求．
解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，把异面直线AC与ED所成的角转化为向量

AC

，

ED

的夹角，再利用向量的夹角公式计算即可．
（2）△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AD为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AE为高的小圆锥，所以只需求出两个圆锥的体积，再相减即可．

解答：解（1）解法一：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，
所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．
由已知，AC=EA=AD=1 ， AB=

3

 ， PB=

7

，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．
在Rt△EFD中，DF=

1

2

 ， ED=

2

，cos∠EDF=

2

4

．
所以异面直线AC与ED所成的角为arccos

2

4

（arctan

7

)．
解法二：建立空间直角坐标系，C(1 ， 0 ， 0) ， D (

1

2

 ， 

3

2

 ， 0)，E（0，0，1），

AC

=(1 ， 0 ， 0 ) ， 

ED

=(

1

2

 ， 

3

2

 ， -1)
PCDEcosθ=

1 2

2

=

2

4

，
所以异面直线AC与ED所成的角为arccos

2

4

．
（2）△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AD
为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面
半径、AE为高的小圆锥，体积V=

1

3

π•1•2-

1

3

π•1•1=

1

3

π．

点评：本题主要考查了异面直线所成角的求法，以及组合体体积的求法．