Question

9．集合A=$\left\{x\right.\left|{\left.{（x-\frac{1}{2}）（x-3）=0}\right\}}\right.，B=\left\{x\right.\left|{\left.{ln（{x^2}+ax+a+\frac{9}{4}）=0}\right\}}$
（1）若集合B只有一个元素，求实数a的值；
（2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知${x^2}+ax+a+\frac{5}{4}=0$有两个相等的实数根，根据判别式即可求出a的值，
（2）先化简A，再分类讨论，当当B=∅时，和当B≠∅时，即可求出a的范围．

解答 解：（1）根据集合B有${x^2}+ax+a+\frac{5}{4}=0$有两个相等的实数根，所以△=a²-4（a+$\frac{5}{4}$）=0，解得a=5或-1；
（2）根据条件，$A=\{\frac{1}{2}，3\}$，B是A的真子集，所以当B=∅时，△=a²-4（a+$\frac{5}{4}$）＜0，解得-1＜a＜5；
当B≠∅时，根据（1）将a=5，-1分别代入集合B检验，
当a=5，$B=\{-\frac{5}{2}\}$，不满足条件，舍去；
当a=-1，$B=\{\frac{1}{2}\}$，满足条件；
综上，实数a的取值范围是[-1，5）

点评 本题考查了集合和元素的关系，以及集合与集合的关系，属于基础题．