Question

（2013•黑龙江二模）求“方程（

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）^x+（

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）^x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（

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）^x+（

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）^x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集为

{-1，2}

．

Answer 1

分析：类比求“方程（

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）^x+（

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）^x=1的解的解题思路，设f（x）=x³+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x²=x+2，解之即得方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集．

解答：解：类比上述解题思路，设f（x）=x³+x，由于f′（x）=3x²+1≥0，则f（x）在R上单调递增，
由x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）即（x²）³+x²=（x+2）³+（x+2），
∴x²=x+2，
解之得，x=-1或x=2．
所以方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集为{-1，2}．
故答案为：{-1，2}．

点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．