Question

已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减．给出以下四个命题：

①f(2)＝0；

②x＝－4为函数y＝f(x)图像的一条对称轴；

③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；

④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x₁，x₂，则x₁＋x₂＝－8.

以上命题中所有正确命题的序号为________．

 

Answer 1

【答案】

①②④

【解析】令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0；根据f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图像关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)的图像的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图像关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x₁，x₂，则＝－4，即x₁＋x₂＝－8.故正确命题的序号为①②④.