Question

【题目】已知函数f（x）=﹣2x2+ax+b且f（2）=﹣3．
（1）若函数f（x）的图象关于直线x=1对称，求函数f（x）在区间[﹣2，3]上的值域；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上递减，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ ．

∴f（x）=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，x∈[﹣2，3]．

∴f（x）min=f（﹣2）=﹣19，f（x）max=f（1）=﹣1．

∴函数f（x）在区间[﹣2，3]上的值域为[﹣19，﹣1]

（2）解：∵函数f（x）在区间[2，+∞）上递减，

∴ ．

又f（2）=﹣3，∴b=﹣2a+5，

∵a≤4，

∴b≥﹣3

【解析】（1）利用函数的对称轴与函数值求解a，b，然后通过二次函数的闭区间求解函数的最值即可．（2）利用对称轴与二次函数的单调减区间的关系，列出不等式，以及函数值的关系，求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．