Question

【题目】已知圆，直线过点且与圆相切 .

（I）求直线的方程；

（II）如图，圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，过点且与轴垂直的直线为，直线交直线于点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆与轴交于定点，并求出点的坐标 .

Answer 1

【答案】（1）.

（2）证明见解析；定点或.

【解析】

（1）由已知中直线过点，我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k的值，进而得到直线的方程；

（2）由已知我们易求出P,Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P与Q的坐标，进而得到以为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论.

(Ⅰ)由题意得，直线的斜率存在.

设直线的方程为.

因为直线与圆相切，

所以.

所以.

所以直线方程为.

(Ⅱ)由题意得，点，点.

设点，则.

直线的方程为.

所以直线与直线的交点为点.

直线的方程为.

所以直线与直线的交点为点.

设点.

则，.

因为以为直径的圆与轴交于定点,

所以

解得.

所以定点或.