Question

已知函数．
（I）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（II）若当时，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 利用两角和差的余弦公式化简f（x）的解析式为cos（2x+）+2，故周期为，由，得到f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ） 要使不等式恒成立，需m＞f（x）_max -2 且m＜f（x）_min +2，根据，可求得f（x）的最大值和最小值，从而得到m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴f（x）的最小正周期为，
由，得，
∴f（x）的单调递增区间为．
（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2，f（x）-2＜m＜f（x）+2，，
∴m＞f（x）_max -2 且m＜f（x）_min +2，
又∵，∴，即，∴．
∴，即m的取值范围是．
点评：本题考查两角和差的余弦公式的应用，余弦函数的单调性，周期性和最值，求出f（x）的解析式为cos（2x+）+2，是解题的突破口．