Question

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，，，，点、、分别为、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：面；
（3）求点到平面的距离.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）连接，利用中位线得到，然后再利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）证法一是先证明，于是得到，于是得到，再证明平面，从而得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；证法二是先证明，得到，于是得到，再证明平面，从而得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；（3）利用（2）中的结论平面，结合等体积法得到
，将问题视为求三棱锥的高.
（1）证明：连接，是的中点 ，过点，
为的中点，，
又面，面，平面；
证法一：连结，连接，在直角中，，，，

，，
，，
即，
，，且，
平面，，又，故平面；
证法二：连接，在直角中，，，，
设，，，
，即，
，，且，平面,
，又，故平面，
（3）设点到平面的距离为，由（2）知平面，
，，
，
即点到平面的距离为.