Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x+m．
（1）求m及f（-3）的值；
（2）求f（x）的解析式并画出简图；
（3）写出f（x）的单调区间（不用证明）．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴m=0，…（2分）
∴当x≥0时，f（x）=x²-2x
∴f（-3）=-f（3）=-3…（4分）
（2）当x＜0时，-x＞0
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x…（6分）
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=x²+2x，即f（x）=-x²-2x（x＜0）
∴f（x）的解析式为…（8分）
f（x）的图象如下图：…（10分）
（3）由f（x）的图象可知：f（x）的增区间为（-∞，-1]，[1，+∞），减区间为[-1，1]…（14分）
分析：（1）由f（0）=0可求得m=0，结合题目条件可求得f（3）=3，从而有f（-3）=-3；
（2）由f（x）是定义在R上的奇函数与当x≥0时，f（x）=x²-2x+m可求得当x＜0时，f（x）=-x²-2x（x＜0），从而可得f（x）的解析式；
（3）由f（x）=的图象可得到其单调区间．
点评：本题考查二次函数的图象，着重考查求分段函数解析式的求法与作函数的图象，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档题．