Question

把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D-AB-C，则异面直线DC与AB所成角的正切值为（ ）

A．
B．
C．
D．不存在

Answer 1

【答案】分析：Rt△ABD中，AD：AB：BD=1：：2，Rt△ABC中，AC：AB：BC=1：：1，因此设AD=，则AB=，AB=AC=．再建立如图坐标系，得出A、B、C、D各点的坐标，利用向量数量积公式，求出直线DC与AB所成角的余弦值，最后用同角三角函数的关系，可以算出DC与AB所成角的正切值．
解答：解：以A为原点，AB、AD所在直线分别为y轴和z轴，建立如图坐标系
Rt△ABD中，AD：AB：BD=1：：2．Rt△ABC中，AC：AB：BC=1：：1，
设AD=，则AB=，AB=AC=
则A（0，0，0），B（0，-，0），C（，-，0），D（0，0，）
∴=（0，-，0），=（，-，-）
可得=，=，
∴cos＜，＞==
根据同角三角函数关系，得sin＜，＞==，tan＜，＞==
即异面直线DC与AB所成角的正切值为
故选B
点评：本题将一副三角板摆成直二面角，要我们要相对的棱所在的异面直线所成的角，着重考查了异面直线所成角的求法和空间向量的坐标运算，属于中档题．