Question

一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料．资 料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台（t为常数），期间某天由于商 家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天 共售出8台，11月5日的销售量为18台．
（I）若商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量．
（II）若11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数．

Answer 1

（I）根据题意，商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列{a_n}，
∵

a1+a2=8 a5=18

，∴

2a1+t=8 a1+4t=18

，解之得

a1=2 t=4

因此，这15天家电M的总销售量为S₁₅=15×2+

15×14

2

×4=450台．…（6分）
（II）设从11月1日起，第n天的销售量最多，1≤n≤30，n∈N^*
由（I），若商家在11月1日至15日之间未提价，则这15天家电M的总销售量为450台，
而450＞414不符合题意，故n＜15；
若n=5，则S₁₅=5×2+

5×4

2

×4+10×16+

10×9

2

×(-2)=120＜414，
也不符合题意，故n＞5
因此，前n天每天的销售量组成一个首项为2，公差为4的等差数列，第n+1天开始每天的销售量组成首项为4n-4，
公差为-2的等差数列．…（10分）
∴S₁₅=[2n+

n(n-1)

2

×4]+[（15-n）（4n-4）+

(15-n)(14-n)

2

×(-2)]=-3n²+93n-270
由已知条件，得S₁₅=414，即-3n²+93n-270=414
解之得n=15或n=19（舍去19）
∴n=12，出售家电M的台数为2+11×4=46台
故在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．