Question

已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点（1，）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx-2与椭圆E相交于A，B两点，在OA上存在一点M，OB上存在一点N，使得，若原点O在以MN为直径的圆上，求直线斜率k的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆E的方程为 ，
∵=，∴a=2c，又 b²=a²-c²=3c²，∵椭圆经过点（1，），
∴椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）记A、B 两点坐标分别为A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），
消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，∴k²＞，
由韦达定理 ，，∵原点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON，即 =0，∵，M在OA上，N在OB上，
∴=0，又 =（x₁，y₁ ），=（x₂，y₂ ），
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=（k²+1）-2k+4=0．
∴k²=＞，∴k=±．
分析：（Ⅰ）依题意设出椭圆E的方程，根据离心率的值以及椭圆经过点（1，），待定系数法求出椭圆的方程．
（Ⅱ）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，再利用OM⊥ON 及，
通过=0，解方程求出k的值．
点评：本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求椭圆的方程，一元二次方程根与系数的关系，以及两个向量坐标形式的运算．