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已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).
(1)求证:f(x+4)=f(x)
(2)若函数f(x)为奇函数,且当-1≤x≤1时,f(x)=(
1
2
)x,求f(x)在[-1,3]的解析式
(3)在(2)的条件下,求使f(x)=-
1
2
在[0,2011]上的所有x的个数.
考点:函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用,函数的周期性
专题:函数的性质及应用
分析:(1)由已知等式f(x+2)=-f(x),用x+2替换x,结合函数周期性的定义和已知条件,不难得到f(x)是以4为一个周期的周期函数.
(2)根据函数在[-1,1]上的表达式,再设1<x≤3,则得f(x-2)=
1
2
(x-2)
=-f(x), 从而可得f(x)在区间(1,3]上的表达式,综上所述,可得f(x)在[-1,3]的解析式.
(3)求出f(x)=-
1
2
时x的值.再根据函数的周期性求出在[0,2011]上的所有x的个数
解答: 解:(1)由题意可得:f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
故f(x)的周期为4,
(2)∵当-1≤x≤1时,f(x)=
1
2
x,
设1<x≤3,则-1<x-2≤1,
∴f(x-2)=
1
2
(x-2),
又∵f(x-2)=-f(x),
∴-f(x)=
1
2
(x-2),
可得f(x)=-
1
2
(x-2)(1<x≤3).
综上所述,f(x)在[-1,3]的解析式为:f(x)=
1
2
x(-1≤x≤1)
1
2
(x-2)(1<x≤3)

(3)由f(x)=-
1
2
,解得x=-1.
∵f(x)是以4为周期的周期函数.故f(x)=-
1
2
的所有x=4n-1(n∈Z).令0≤4n-1≤2011,则
1
4
≤n≤503,
又∵n∈Z,∴1≤n≤503(n∈Z),
∴在[0,2011]上共有503个x使f(x)=-
1
2
点评:本题以分段函数为例,求函数的周期并求函数的解析式,着重考查了函数的奇偶性、周期性,属于基础题.
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3
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π
6
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3
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1
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cos(-
43
6
π)的值是(  )
A、
1
2
B、
3
2
C、-
1
2
D、-
3
2

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1
m
+
2
n
的最小值为
 

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命题“?x∈R,x2+x≥2”的否定是(  )
A、?x0∈R,x2+x≤2
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D、?x∈R,x2+x<2

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已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线x=
10
3
分别交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求线段MN的长度的最小值.
(3)当线段MN的长度最小时,在椭圆上有两点T1,T2,使得△T1SB,△T2SB的面积都为
1
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,求直线T1T2在y轴上的截距.

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