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已知椭C:+=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上任意一点,若以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,且△PF1F2的周长为4
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线的l是圆O:x2+y2=上动点P(x,y)(x-y≠0)处的切线,l与椭圆C交于不同的两点Q,R,证明:∠QOR的大小为定值.
【答案】分析:(Ⅰ)根据以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,可得b=c,利用△PF1F2的周长为4,可得a+c=,从而可求椭圆的几何量,进而可得椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线的l方程与椭圆方程联立,记Q(x1,y1),R(x2,y2),利用韦达定理,确定x1x2+y1y2=0,即可证得结论.
解答:(Ⅰ)解:因为以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,所以b=c,可得a=c,
又因为△PF1F2的周长为4,所以a+c=,所以c=
所以a=2,b=,所以所求椭圆C的方程为.       …(5分)
(Ⅱ)证明:直线的l方程为,且x2+y2=,记Q(x1,y1),R(x2,y2),
联立方程,消去y得()x2-x+=0,
∴x1+x2=,x1x2=,…(8分)
=,…(10分)
∴x1x2+y1y2=+=0
∴∠QOR=90°为定值.                                            …(13分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力,正确运用韦达定理是关键.
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(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线的l是圆O:x2+y2=数学公式上动点P(x0,y0)(x0-y0≠0)处的切线,l与椭圆C交于不同的两点Q,R,证明:∠QOR的大小为定值.

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