Question

20．在[0，1]上任取一数a，在[1，2]上任取一数b，则点（a，b）满足a²+b²≤2的概率为$\frac{π-2}{4}$．

Answer 1

分析 根据几何概型，只要求出在两个区间内随机取两个数分别记为a，b，对应平面区域的面积，再求出满足条件a²+b²≤2对应的平面区域的面积，然后代入几何概型公式，即可求解．

解答 解：[0，1]上任取一数a，在[1，2]上任取一数b，则（a，b）点对应的区域如图中正方形所示
若a²+b²≤2，
则（a，b）点对应的区域在以原点为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的圆上或圆内
如图中阴影部分所示，∵S_正方形=1×1=1，S_阴影=$\frac{π（\sqrt{2}）^{2}}{8}-\frac{1}{2}$=$\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$，
故在[0，1]上任取一数a，在[1，2]上任取一数b，使得a²+b²≤2的概率P=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{正方形}}$=$\frac{\frac{π}{4}-\frac{1}{2}}{1}=\frac{π-2}{4}$；
故答案为：$\frac{π-2}{4}$．

点评 本题考查几何概型；其概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．