在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an＝|an－1－an－2|，n＝3，4，5，…，则称{an}为“绝对差数列”．
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；
(2)若“绝对差数列”{an}中，a20＝3，a21＝0．数列{bn}满足bn＝an＋an+1＋an+2，n＝1，2，3…，分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
(3)任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．
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解：(1)a1＝3，a2＝1，a3＝2，a4＝1，a5＝1，a6＝0，a7＝1，a8＝1，a9＝0，a10＝1 (答案不惟一)； (2)解：因为在绝对差数列{an}中，a20＝3，a21＝0，所以自第20项开始，该数列是a20＝3，a21＝0，a22＝3，a23＝3，a24＝0，a25＝3，a26＝3，a27＝0， …，即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3． 所以当n→∞时，an的极值不存在． 当n≥20时，bn＝an＋an+1＋an+2＝6． 所以limn→∞bn＝6． (1)证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项，证明如下(用反证法)： 假设{an}中没有零项，由于an＝|an－1－an－2|，所以对于任意的n都有an≥1，从而 当an－1＞an－2时，an＝an－1－an－2≤an－1－1(n≥3)； 当an－1＜an－2时，an＝an－2－an－1≤an－2－1(n≥3)． 即an的值要么比an－1至少小1，要么比an－2至少小1． 令Cn＝ 则0＜Cn≤Cn－1－1(n＝2，3，4，…) 由于a是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项Ck＜0，这与Cn＞0(n＝1，2，3，…)矛盾，从而{an}必有零项． 若第一次出现的零项为第n项，记an－1＝A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项同期地取值0，A、A，即 所以绝对数列{an}中有无穷多个为零的项． 思路分析：本题以提出一个新概念的方式来考查数列的概念及极限的问题，背景新颖． |
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在用反证法证题时，常用的主要矛盾为：与假设矛盾、与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾，与公认的事实相矛盾． |
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
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| a n |
| 2 |
| an+1 |
| 2 |
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n＝1，2，3…，
k＝0，1，2，3…，