Question

已知函数f（x）=x²-2|x|-1的图象，并写出该函数的单调区间与值域．
（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数f（x）的解析式写成分段函数；
（2）在给出的坐标系中画出f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间和值域．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值的意义，分x≥0、x＜0两种情况去掉绝对值，即可得到函数f（x）分段函数形式的解析式；
（2）根据函数奇偶性的定义，证出函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，再结合二次函数图象的作法，即可作出函数如图所示的图象．由函数的图象则不难写出函数的单调区间，求出函数的值域．

解答：解：（1）∵当x≥0时，|x|=x；当x＜0时，|x|=-x，
∴函数的解析式为：f(x)=x2-2|x|-1=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

------（3分）
（2）∵f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1
∴f（-x）=f（x），得函数是偶函数，图象关于y轴对称
因此，作出函数y=x²-2x-1在y轴右侧的图象，再作关于y轴对称
得到函数在y轴左侧的图象．可得如右图所示f（x）的图象---------（6分）
由图象可知：
函数y=f（x）的单调增区间为（-1，0），（1，+∞）；单调减区间为（-∞，-1），（0，1）-----（9分）
函数的最小值为f（1）=f（-1）=-2，故函数的值域为：[-2，+∞）--------------（12分）

点评：本题给出含有绝对值的二次形式的函数，求函数的单调性与值域．着重考查了二次函数的图象与性质、函数图象的作法与函数的奇偶性等知识，属于中档题．