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    【题目】在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），直线过点且倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.

    （1）写出曲线C的极坐标方程和直线的参数方程；

    （2）若直线l与曲线C交于两点，求的值.

    【答案】（1），（t为参数）；（2）1.

    【解析】

    （1）先将曲线的参数方程化为普通方程（直角坐标方程），再将直角坐标方程化为极坐标方程，根据题意直接写出直线的参数方程；

    （2）将直线的参数方程代入曲线得到关于的一元二次方程，根据参数的几何意义得出的值.

    （1）曲线（t为参数），化为直角坐标方程为，

    再化为极坐标方程为，

    直线的参数方程为（t为参数） ；

    （2）将直线的参数方程代入曲线C，得，

    所以，，

    点P在之间，所以，

    ，

    所以.

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    【题目】在某区“创文明城区”简称“创城”活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：

    学校

    A

    B

    C

    D

    抽查人数

    50

    15

    10

    25

    “创城”活动中参与的人数

    40

    10

    9

    15

    注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值

    假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．

    Ⅰ若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；

    Ⅱ在随机抽查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；

    Ⅲ若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．

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    【题目】求矩阵M＝的特征值和特征向量．

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    【题目】已如椭圆C：的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形.

    （1）求椭圆C的标准方程；

    （2）设动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k＇.若，求证△OPQ的面积为定值，并求此定值.

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    【题目】如图，在四棱锥 E ABCD 中， EC 底面 ABCD ， FD / /EC ，底面 ABCD 为矩形， G 为线段 AB 的中点， CG DG，CD DF CE 2 ，则四棱锥 E ABCD与三棱锥 F CDG 的公共部分的体积为________________ .

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    【题目】椭圆〔＞b＞0〕与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）过点，斜率为的直线与椭圆交于两点，设，假设，求的取值范围.

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    【题目】2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：

    （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.

    （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.

    参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，，.

    （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.

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    （1）求圆的方程；

    （2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.

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    【题目】现计划用两张铁丝网在一片空地上围成一个梯形养鸡场，，，已知两段是由长为的铁丝网折成，两段是由长为的铁丝网折成.设上底的长为，所围成的梯形面积为.

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