Question

57：函数与方程的综合运用（理）已知点M（x，y）是曲线C₁：3x³-4xy+24=0上的动点，与M对应的点的轨迹是曲线C₂．
（1）求曲线C₂的方程，并表示为y=f（x）的形式；
（2）判断并证明函数y=f（x）在区间上的单调性．

Answer 1

解：（1）设P（m，n）是曲线C₂上的任意一点，则
∵
∴
∴x=2m，y=3n
∴M（2m，3n）在曲线C₁上…（3分）
∴3（2m）³-4（2m）（3n）+24=0，则曲线C₂的方程为m³-mn+1=0
即x³-xy+1=0
所以…（6分）
（2）解：函数y=f（x）在区间上是增函数
证明：任取
则…（9分）
∵，
∴
∴，
∴，
又x₁-x₂＜0
∴，
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函数y=f（x）在区间上是增函数…（12分）
分析：（1）设P（m，n）是曲线C₂上的任意一点，利用条件求出M的坐标，利用已知的方程可求出关于m，n的方程，从而求出曲线C₂的方程；
（2）利用单调性的定义，取点，作差，变形，定号，下结论，从而可判断并证明函数的单调性．
点评：本题以曲线方程为载体，考查代入法求轨迹方程，考查函数的单调性，证明时，利用取点，作差，变形，定号，下结论是关键．