Question

已知{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=

1

4

，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是（　　）

• A、[12，16]
• B、[8，

  32

  3

  ]
• C、[8，

  32

  3

  ）
• D、[

  16

  3

  ，

  32

  3

  ]

Answer 1

分析：根据已知的由a₂和a₅的值，利用等比数列的性质即可求出公比q的值，由等比数列的通项公式求出a₁的值，进而得到a₁a₂的值，得到数列{a_na_n+1}为等比数列，由首项和公比，利用等比数列的前n项和公式表示出数列的前n项和，即可得到所求式子的取值范围．

解答：解：由a₂=2，a₅=

1

4

，得到q³=

a5

a2

=

1

8

，解得q=

1

2

，
且a₁=

a2

q

=4，所以数列{a_na_n+1}是以8为首项，

1

4

为公比的等比数列，
则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

8[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

32

3

（1-4^-n），
所以a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是[8，

32

3

）．
故选C

点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，掌握等比数列的确定方法，是一道中档题．