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在某两个正数x,y之间,若插入一个正数a,使x,a,y成等比数列;若插入两个正数b,c,使x,b,c,y成等差数列,求证:(a+1)2≤(b+1)(c+1).
分析:根据某两个正数x,y之间,若插入一个正数a,使x,a,y成等比数列,得到a=
xy
,在根据插入两个正数b,c,使x,b,c,y成等差数列,得到b=
2x+y
3
,c=
x+2y
3
,从而将原不等式转化为关于x,y的关系式,再利用基本不等式即可
解答:解:∵x,a,y成等比数列
∴a2=xy
∵a>1
a=
xy

∵x,b,c,y成等差数列
∴b-x=c-b=y-c
即b=
2x+y
3
,c=
x+2y
3

∴(b+1)(c+1)=(
2x+y
3
+1)
x+2y
3
+1
)=
2(x2+y2)  +5xy+9x+9y+9
9

∵x>0,y>0
2(x2+y2)  +5xy+9x+9y+9
9
2×(2xy)+5xy
9
+2
xy
+1= (
xy
+1)
2
=(a+1)2
即:(a+1)2≤(b+1)(c+1).
点评:本题考查了基本不等式,等差数列与等比数列的综合,属于基础题.
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A.有两个相等的实根                      B.有两个相异的实根

C.无实数根                                  D.有两个相等实根或无实根

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