Question

2．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=1，求异面直线AP与BD₁所成角的余弦．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AP与BD₁所成角的余弦值．

解答 解：∵在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，
P是侧棱CC₁上的一点，CP=1，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），P（0，1，1），B（1，1，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AP}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，2），
设异面直线AP与BD₁所成角为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{B{D}_{1}}}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{B{D}_{1}}|}$|=|$\frac{1-1+2}{\sqrt{3}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴异面直线AP与BD₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．