Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣alnx+ ．
（1）若a=1，求f（x）在x∈[1，3]的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜0成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知 ，x∈[1，3]．

，

令f'（x）=0，x1=2，x2=﹣1（舍）．

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f'（x）	﹣2	为负	0	为正
f（x）	3	递减	极小值	递增

由上表可知，函数f（x）的最小值为f（2）=2﹣ln2，函数f（x）的最大值为f（1）=3．

（2）解： ，令f'（x）=0，x1=﹣1，x2=1+a．

由于函数f（x）的定义域为（0，+∞），

当1+a≤0时，f'（x）＞0，

当1+a＞0时，0＜x＜1+a有f'（x）＜0，x＞1+a有f'（x）＞0．

所以，当a≤﹣1时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；

当a＞﹣1时，函数f（x）的递减区间是（0，1+a）；递增区间是[1+a，+∞）．

（3）解：当1+a≤1时，即a≤0时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，f（1）＜0解得a＜﹣2；

当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，函数f（x）在[1，e]上单调递减，f（e）＜0解得 ；

当1＜1+a＜e时，即0＜a＜e﹣1时，函数f（x）在[1，1+a]上单调递减，[1+a，e]上单调递增，

∴f（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＜0，由于0＜ln（1+a）＜1，

所以a＞aln（1+a），因此2+a﹣aln（1+a）＞2，不等式f（1+a）＜0无解．

综上所述，a＜﹣2或

【解析】（1）代入a值，利用导函数直接判断；（2）求导，在定义域内对a进行分类讨论；（3）使得f（x0）＜0成立，只需求出区间内的最小值即可，对a进行分类讨论，求出函数的最小值．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．