Question

已知如图，A、B是椭圆

x2

4

+y2=1的左、右顶点，直线x=t（-2＜t＜2）交椭圆于M、N两点，经过A、M、N的圆的圆心为C₁，经过B、M、N的圆的圆心为C₂．
（1）求证|C₁C₂|为定值；
（2）求圆C₁与圆C₂的面积之和的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆方程可求得A，B的坐标，把直线方程与椭圆方程联立求得M，N的坐标，设C₁（x₁，0），C₂（x₂，0），根据半径相等建立等式求得x₁和x₂的表达式，进而求得|C₁C₂|=x₂-x₁结果为常数．原式得证．
（2）依题意可分别表示出两个圆的半径，进而根据圆的面积公式求得S，进而二次函数的性质求得答案．

解答：解：（1）由题设A（-2，0），B（2，0），
由

x=t x2 4 +y2=1

解出M(t，

1- t2 4

)，N(t，-

1- t2 4

)．
设C₁（x₁，0），C₂（x₂，0），由x1+2=

(t-x1)2+1- t2 4

解出x1=

3(t-2)

8

．
同理，2-x2=

(x 2-t)2+1- t2 4

解出x2=

3(t+2)

8

，|C1C2|=x2-x1=

3

2

（定值）．
（2）两圆半径分别为x1+2=

3t+10

8

及2-x2=

10-3t

8

，
两圆面积和S=

π

64

[(3t+10)2+(10-3t)2]=

π

32

(9t2+100)，
因为-2＜t＜2，所以0≤t²＜4，所以S的取值范围是[

25π

8

，

61π

8

)．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及了椭圆与圆的位置关系，圆的面积公式，点与点之间的距离公式．