【题目】如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,,.
(1)求证:平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
(3)求点E到平面ACD的距离。
【答案】(1)见解析(2)(3)
【解析】
(1)连接OC,由BO=DO,AB=AD,知AO⊥BD,由BO=DO,BC=CD,知CO⊥BD.在△AOC中,由题设知,AC=2,故AO2+CO2=AC2,由此能够证明AO⊥平面BCD;
(2)取AC的中点M,连接OM、ME、OE,由E为BC的中点,知ME∥AB,OE∥DC,故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在△OME中,,由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦;
(3)设点E到平面ACD的距离为h.在△ACD中,,故,由AO=1,知,由此能求出点E到平面ACD的距离.
(1)证明:连接OC,∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD,
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.
在△AOC中,由题设知,AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∵AO⊥BD,BD∩OC=O,
∴AO⊥平面BCD.
(2)解:取AC的中点M,连接OM、ME、OE,由E为BC的中点,
知ME∥AB,OE∥DC,
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中,,
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线,∴,
∴,
∴异面直线AB与CD所成角大小的余弦为
(3)解:设点E到平面ACD的距离为h.
,
,
在△ACD中,,
∴,
∵AO=1,,
∴,
∴点E到平面ACD的距离为.
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【题目】如图,正方体的棱长为1,过点作平面的垂线,垂足为点,有下面三个结论:①点是的中心;②垂直于平面;③直线与直线所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______.
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【题目】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
性别 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附:的观测值
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
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【题目】用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是( )
A.48 B.36 C.28 D.12
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【题目】某高速公路服务区临时停车场按时段收费,收费标准:每辆汽车一次停车不超过1小时收费5元,超过1小时的部分每小时收费7元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人在该服务区临时停车,两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为,停车付费多于12元的概率为,求甲停车付费恰为5元的概率;
(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车付费之和为38元的概率.
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【题目】一个盒子中装有1个黑球和2个白球,这3个球除颜色外完全相同.有放回地连续抽取2次,每次从中任意地取出1个球.计算下列事件的概率:
(1)取出的两个球都是白球;
(2)第一次取出白球,第二取出黑球;
(3)取出的两个球中至少有一个白球.
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【题目】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分,降落点为.观测点实时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程(只需求出曲线方程即可,不必求范围);
(2)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离为多少时,应向航天器发出变轨指令?
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【题目】某高校调查喜欢“统计”课程是否与性别有关,随机抽取了55个学生,得到统计数据如表:
喜欢 | 不喜欢 | 总计 | |
男生 | 20 | ||
女生 | 20 | ||
总计 | 30 | 55 |
(1)完成表格的数据;
(2)判断是否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“统计”课程与性别有关?
参考公式:
0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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