Question

设O为△ABC的三个内角平分线的交点，当AB=AC=5，BC=6时，

AO

=λ

AB

+μ

BC

 (λ，μ∈R)，则λ+μ=

-

15

16

．

Answer 1

分析：因为：O为△ABC内角平分线的交点，令，|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，则有a×

OA

+ b×

OB

+c×

OC

=0，再利用三角形中向量之间的关系，将等式变形为

AO

=λ

AB

+μ

BC

(λ，μ∈R)，利用平面向量基本定理即可解决．

解答：解：因为：O为△ABC内角平分线的交点，令，|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，则有 a×

OA

+ b×

OB

+c×

OC

=0∵

OB

=

OA

-

BA

，

OC

=

OA

-

CA

，

AC

=

AB

+

BC

，
∴a×

OA

+ b×(

OA

-

BA

)+c×(

OA

-

CA

)=0，
∴(a+b+c)

OA

=-(b+c)×

AB

-c×

BC

∴

OA

=-

b+c

a+b+c

×

AB

-

c

a+b+c

×

BC

∵

AO

=λ

AB

+μ

BC

(λ，μ∈R)
∴λ=-

b+c

a+b+c

，μ=-

c

a+b+c

∵a=6，b=c=5．
∴λ=-

10

16

，μ=-

5

16

∴λ+μ=-

15

16

故答案为-

15

16

．

点评：本题的考点是向量在几何中的应用，主要考查向量与三角形的结合，考查三角形内角平分线的性质，关键是利用平面向量基本定理，将向量用基底唯一线性表示．