Question

给出下列四个命题：
①“向量

a

，

b

的夹角为锐角”的充要条件是“

a

•

b

＞0”；
②如果f（x）=lgx，则对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

；
③设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”．若f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是[2，3]；
④记函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），要得到y=f^-1（1-x）的图象，可以先将y=f（x）的图象关于直线y=x做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位，即得到y=f^-1（1-x）的图象．
其中真命题的序号是

 

．（请写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：根据平面向量数量积的定义，可以判断①的真假；根据根据函数凸凹性，可以判断②的真假；根据二次函数的性质及绝对值的运算法则，可以判断③的真假；根据函数图象的变换法则，我们可以得到④的真假；进而得到答案．

解答：解：“

a

•

b

＞0”还包括

a

与

b

同向（此时向量

a

，

b

的夹角为0）的情况，故①错误；
由于函数f（x）=lgx，在区间（0，+∞）上是凸增的，故对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，故②正确；
当f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3时，|f（x）-g（x）|=|x²-5x+7|，∵在区间[2，3]上|x²-5x+7|∈[0，1]，故③正确；
先将y=f（x）的图象关于直线y=x做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位，可以得到y=f′（-x-1）的图象，故④错误
故答案为：②③

点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，函数的图象的变换，函数的值域，及对数函数的图象及性质，其中熟练掌握初等基本函数的图象与性质是解答本题的关键．