Question

双曲线C：x²-y²=1的渐近线方程为

x±y=0

；若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且

PA

=2

AQ

，则直线l的斜率为

±3

．

Answer 1

分析：把双曲线标准方程中的1，换成0，即得渐进性的方程；由

PA

=2

AQ

，可得A分PQ成的比为2，由定比分点坐标公式解方程求得直线l的斜率k的值．

解答：解：把双曲线C的标准方程：x²-y²=1中的1换成0，即得x±y=0，即为双曲线C：x²-y²=1的渐近线方程．
又A（1，0），设直线l的方程 y=k（x-1），
由

x-y=0 y=k(x-1)

求得 P（

k

k-1

，

k

k-1

），由

x+y=0 y=k(x-1)

求得 Q （

k

k+1

，

k

k+1

）．
由

PA

=2

AQ

可得，A分PQ成的比为2，由定比分点坐标公式可得点A的横坐标1=

k k-1 +2 k k+1

1+2

，
解得 k=±3．
故答案为：x±y=0，±3．

点评：本题考查双曲线的标准方程以及简单性质的应用，求出P、Q两点的坐标，是解题的关键．