Question

设函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最小值，并写出使f（x）取得最小值时，x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可化简f（x）=2+

2

sin（2x+

π

4

），再利用正弦函数的周期性质可得函数f（x）的最小正周期；
（2）利用正弦函数的最值性质可得答案．

解答： 解：（1）f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=1+sin2x+1+cos2x=2+

2

sin（2x+

π

4

），
所以，函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）及正弦函数的性质知，当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）时，使f（x）取得最小值2-

2

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换及其应用，考查正弦函数的周期性与最值，属于中档题．