Question

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2，，且当x＞0时，f（x）＞2．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
（2）若f（3）=5，求满足f（a²-2a-2）＜3的实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）在R上单调递增
证明：设x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞2
∴f（x₂-x₁）＞2
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-2
∴f（x₂）+f（-x₁）-2＞2
∴f（x₂）+f（-x₁）＞4；
对f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=2，
再取y=-x得：f（x）+f（-x）=4，即f（-x）=4-f（x），
∴有f（x₂）+4-f（x₁）＞4
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上递增，
（2）解：f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3；
于是，不等式f（a²-2a-2）＜3等价于f（a²-2a-2）＜f（1）
∵f（x）在R上递增，
∴a²-2a-2＜1
∴a²-2a-3＜0
∴-1＜a＜3．
∴满足f（a²-2a-2）＜3的实数a的取值范围为（-1，3）
分析：（1）f（x）在R上单调递增，利用单调性的定义证明．设x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，则x₂-x₁＞0，所以f（x₂-x₁）＞2，从而有f（x₂）+f（-x₁）＞4，再取x=y=0得：f（0）=2，再取y=-x得：f（-x）=4-f（x），从而可得f（x₂）＞f（x₁）；（2）由f（3）=5，可得f（1）=3，于是不等式f（a²-2a-2）＜3等价于f（a²-2a-2）＜f（1）．利用f（x）在R上递增，可得a²-2a-2＜1，从而可得满足f（a²-2a-2）＜3的实数a的取值范围．
点评：本题考查抽象函数的性质，考查利用单调性解不等式，已知抽象函数的运算性质，常用“赋值法”．