Question

17．观察下列等式：
①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$；
②sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=$\frac{3}{4}$．
由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为$\frac{3}{4}$．猜想：若β-α=30°，则β=30°+α，sin²α+cos²β+sinαcosβ=$\frac{3}{4}$．

解答 解：由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为$\frac{3}{4}$．
猜想：若β-α=30°，则β=30°+α，
sin²α+cos²β+sinαcosβ=$\frac{3}{4}$，
也可直接写成sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=$\frac{3}{4}$．-------（4分）
下面进行证明：
左边=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos（2α+60°）}{2}$+sinαcos（α+30°）
=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos2αcos60°-sin2αsin60°}{2}$+sinα（cosα•cos30°-sinαsin30°）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2α+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α-$\frac{1-cos2α}{4}$
=$\frac{3}{4}$=右边．
故sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=$\frac{3}{4}$．-----------（14分）

点评 本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，着重考查了类比的能力．