Question

已知a，b，c，d均为正整数，且log_ab=

3

2

，log_cd=

5

4

，若a-c=9，则b-d=

93

．

Answer 1

分析：把已知的对数式转化为指数式，得到a与b、c与d的关系，然后引入变量x、y，把a、b用含x的式子表示，c、d用含y的式子表示，根据a-c=9，求出x、y的值，则b-d可求．

解答：解：由log_ab=

3

2

，得a³=b²，由log_cd=

5

4

，得c⁵=d⁴，
因为a，b，c，d均为正整数，
所以，设a=x²，b=x³
再设c=y⁴，d=y⁵
由a-c=x²-y⁴=9，得（x+y²）（x-y²）=9．
∴x+y²=9，x-y²=1，解得：x=5，y²=4．
则b-d=x³-y⁵=5³-2⁵=125-32=93．
故答案为93．

点评：本题考查对数的运算性质，考查了数学转化思想，解答此题的关键是能够从对数式的值中转化出两个字母的关系，从而能够正确的把两个字母用另外的一个量来表示．