Question

【题目】已知函数 f（x）=1+x﹣ ，g （x）=1﹣x+ ，设函数F（x）=f（x﹣4）g（x+3），且函数 F （ x） 的零点均在区间[a，b]（ a＜b，a，b∈Z ）内，则 b﹣a 的最小值为 ．

Answer 1

【答案】6
【解析】解：∵函数 f（x）=1+x﹣ ，f′（x）=1﹣x+x2＞0，∴f（x）在R单调递增，而f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣ ＜0， ∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点，∴函数f（x﹣4）在[3，4]上有一个零点，
函数g （x）=1﹣x+ ，g′（x）=﹣1+x﹣x2＜0，∴f（x）在R单调递减，而g（1）=1﹣1+ ＞0，g（2）=1﹣2+2- ＜0，
∴函数g（x）在区间（1，2）内有零点，∴函数g（x+3）在[﹣2，﹣1]上有一个零点，
函数F（x）=f（x﹣4）g（x+3），且函数 F （ x） 的零点在区间[﹣2，4]内，
则 b﹣a 的最小值为：6．
所以答案是：6．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．