Question

如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a，点E、F分别是AB、CD的中点．
（1）求线段EF的长；（EF是两异面直线AB与CD的公垂线）；
（2）求异面直线BC、AD所成角的大小．

Answer 1

解：（1）连CE、DE，在等边△ABC中，EC=DE=a，
∴EF是等腰△ECD底边上的高，EF⊥CD，
EF==a
（2）取AC中点H，连EH、FH，则θ=∠EHF是BC、AD所成的角，
由余弦定理得cosθ==0，θ=90°．
分析：（1）连CE、DE，在等边△ABC中，求出EC与D，从而得到EF是等腰△ECD底边上的高，根据勾股定理可求出所求；
（2）取AC中点H，连EH、FH，根据异面直线所成角的定义可知∠EHF是BC、AD所成的角，然后利用余弦定理可求出异面直线BC、AD所成角的大小．
点评：本题主要考查了异面直线的距离，以及异面直线所成角，同时考查了转化与划归的思想，计算能力和推理能力，属于中档题．