Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且曲线过点(1，

2

2

)
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=

5

9

内，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据离心率为

2

2

，a²=b²+c²得到关于a和b的一个方程，曲线过点(1，

2

2

)，把点代入方程即可求得椭圆C的方程；
（2）直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点，联立直线和椭圆的方程，消元，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得AB的中点坐标，再根据该点不在圆内，得到该点到圆心的距离≥半径，求得m的取值范围．

解答：解：（1）∵

c

a

=

2

2

，∴

b2

a2

=

a2-c2

a2

=1-

1

2

=

1

2

，∴a²=2b²①
曲线过(1，

2

2

)，则

1

a2

+

1

2b2

=1②
由①②解得

a= 2 b=1

，则椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）联立方程

x2 2 +y2=1 x-y+m=0

，消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0
则△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，解得-

3

＜m＜

3

③
x1+x2=

-4m

3

，y1+y2=x1+x2+2m=

-4m

3

+2m=

2m

3

，
即AB的中点为(-

2m

3

，

m

3

)
又∵AB的中点不在x2+y2=

5

9

内，
∴

4m2

9

+

m2

9

=

5m2

9

≥

5

9

解得，m≤-1或m≥1④
由③④得：-

3

＜m≤-1或1≤m＜

3

．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，直线与圆锥曲线相交问题，易忽视△＞0，属中档题．