Question

15．设$\frac{3}{2}$≤x≤2，求证：2$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2x-3}$+$\sqrt{15-3x}$＜8．

Answer 1

分析 先利用均值不等式，再利用函数的单调性，即可证得结论．

解答 证明：由均值不等式可得$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}}{4}$＜$\sqrt{\frac{x+1+x+1+2x-3+15-3x}{4}}$=$\sqrt{\frac{14+x}{4}}$
∴2$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2x-3}$+$\sqrt{15-3x}$＜2$\sqrt{14+x}$
∵$\frac{3}{2}$≤x≤2，∴y=2$\sqrt{14+x}$单调递增，∴2$\sqrt{14+x}$≤8
∴2$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2x-3}$+$\sqrt{15-3x}$＜8．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．