【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,且PA=AD=2, ,E、F分别为AD、PC中点.
(1)求点F到平面PAB的距离;
(2)求证:平面PCE⊥平面PBC;
(3)求二面角E﹣PC﹣D的大小.
【答案】
(1)解:如图,取PB中点G,连接FG、AG,
∵底面ABCD为菱形,且PA=AD=2,BD= ,∴底面ABCD为正方形,
∵E、F分别为AD、PC中点,∴FG∥BC,FG= ,AE∥BC,AE=
,
则FG∥AE且FG=AE,四边形AEFG为平行四边形,故AG∥FE,
∵AG平面PAB,EF平面PAB,∴EF∥平面PAB,
∴点F与点E到平面PAB的距离相等,即距离为EA=1
(2)证明:由(1)知,AG⊥PB,AG∥EF,
∵PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA,
∵BC⊥AB,AB∩BC=B,∴BC⊥平面PAB,
∴BC⊥AG,又PB∩BC=B,
∴AG⊥平面PBC,则EF⊥平面PBC,
∵EF平面PCE,∴平面PCE⊥平面PBC
(3)解:作EM⊥PD于M,连接FM,
∵CD⊥平面PAD,∴CD⊥EM,
∴EM⊥平面PCD,则EM⊥PC.
由(2)知,EF⊥平面PBC,∴EF⊥PC,
又EM∩EF=E,∴PC⊥平面EFM,
∴FM⊥PC,
∴∠MFE为二面角E﹣PC﹣D的平面角或其补角.
∵PA=AD=2,∴EF=AG= ,EM=
.
∴sin∠MEF= ,则∠MFE=30°.
即二面角E﹣PC﹣D的大小为30°.
【解析】(1)取PB中点G,连接FG、AG,由已知可得底面ABCD为正方形,再由E、F分别为AD、PC中点,可得四边形AEFG为平行四边形,得到AG∥FE,由线面平行的判定可得EF∥平面PAB,从而得到点F与点E到平面PAB的距离相等,即距离为EA=1;(2)由(1)知,AG⊥PB,AG∥EF,再由PA⊥平面ABCD,可得BC⊥PA,由线面垂直的判定可得BC⊥平面PAB,得到BC⊥AG,进一步得到AG⊥平面PBC,则EF⊥平面PBC,由面面垂直的判定可得平面PCE⊥平面PBC;(3)作EM⊥PD于M,连接FM,由CD⊥平面PAD,得CD⊥EM,进一步得到EM⊥PC.结合(2)知,EF⊥平面PBC,即EF⊥PC,可得FM⊥PC,从而得到∠MFE为二面角E﹣PC﹣D的平面角或其补角.然后求解三角形可得二面角E﹣PC﹣D的大小为30°.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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【题目】已知定圆,定直线
,过
的一条动直线
与直线
相交于
,与圆
相交于
,
两点,
是
中点.
(Ⅰ)当与
垂直时,求证:
过圆心
.
(Ⅱ)当,求直线
的方程.
(Ⅲ)设,试问
是否为定值,若为定值,请求出
的值;若不为定值,请说明理由.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过
的部分按平价收费,超出
的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中a的值;
(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计
的值,并说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常数a>0.
(Ⅰ)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0 , h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),若 >0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.当a=4时,试问y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】若命题p:从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一;命题q:在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB>90°的概率为 ,则下列命题是真命题的是( )
A.p∧q
B.(p)∧q
C.p∧(q)
D.q
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【题目】已知函数f(x)=lnx+bx﹣c,f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y+4=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若在区间 内,恒有f(x)≥2lnx+kx成立,求k的取值范围.
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【题目】某车间为了给贫困山区的孩子们赶制一批爱心电子产品,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如下表所示:
零件的个数 | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的时间 | 3 | 4 |
经统计发现零件个数与加工时间
具有线性相关关系.
(1)求出关于
的线性回归方程
;
(2)试预测加工10个零件需要多少时间.
利用公式:,
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【题目】种植于道路两侧、为车辆和行人遮阴并构成街景的乔木称为行道树为确保行人、车辆和临近道路附属设施安全,树木与原有电力线之间的距离不能超出安全距离
按照北京市
行道树修剪规范
要求,当树木与原有电力线发生矛盾时,应及时修剪树枝
行道树修剪规范
中规定,树木与原有电力线的安全距离如表所示:树木与电力线的安全距离表
电力线 | 安全距离 | |
水平距离 | 垂直距离 | |
| ||
| ||
| ||
| ||
330KV | ||
500KV |
现有某棵行道树已经自然生长2年,高度为据研究,这种行道树自然生长的时间
年
与它的高度
满足关系式
1
______;
将结果直接填写在答题卡的相应位置上
2
如果这棵行道树的正上方有35kV的电力线,该电力线距地面
那么这棵行道树自然生长多少年必须修剪?
3
假如这棵行道树的正上方有500KV的电力线,这棵行道树一直自然生长,始终不会影响电力线段安全,那么该电力线距离地面至少多少米?
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