Question

某企业生产A，B，C三种产品，每种产品有M和N两个型号．经统计三月下旬该企业的产量如下表（单位：件）．用分层抽样的方法从这月下旬生产的三种产品中抽取50件调查，其中抽到A种产品10件．
（1）求x的值；
（2）用分层抽样方法在C产品中抽取一个容量为5的样本，将该样本看作一个总体，从中任取两件，求至少有一件是M型号的概率；
（3）用随机抽样的方法从C产品中抽取8件产品做用户满意度调查，经统计它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把8件产品的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率．

	A	B	C
M	200	300	240
N	200	700	x

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出A产品的抽样比例为1：40，可得产品B的抽样比例也是1：40的比例抽取，故从B产品中抽取样本容量为25，可得产品C应抽取件数为15，再根据抽样比例为求得x的值．
（2）用分层抽样方法在C产品中抽取一个容量为5的样本，则M型号有2件，N型号有3件，用列举法求得从中任取两件所有的情况有共10种，至少有一件是M型号的有7种，从而至少有一件是M型号的概率的值．
（3）求出这8个数据的平均数为9，其中与9差的绝对值超过0.5的有2个，从而求得与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率．
解答：解：（1）由于产品A的产量为400，从中抽取样本容量为10，故按1：40的比例抽取，
同理产品B的产量为1000，按1：40的比例抽取，从中抽取样本容量为25，
所以产品C应抽取件数为50-10-25=15，故，解得x=360．   …（4分）
（2）用分层抽样方法在C产品中抽取一个容量为5的样本，则M型号有2件，N型号有3件，
从中任取两件所有的情况有：（M₁，M₂），（N₁，N₂），（N₁，N₃），（N₂，N₃），（M₁，N₁），
（M₁，N₂），（M₁，N₃），（M₂，N₁），（M₂，N₂），（M₂，N₃），共10种．
故至少有一件是M型号的有（M₁，M₂），（M₁，N₁），（M₁，N₂），（M₁，N₃），（M₂，N₁），
（M₂，N₂），（M₂，N₃），共有7种，所以至少有一件是M型号的概率．…（9分）
（3）9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2这8个数据的平均数为9，
则与9差的绝对值超过0.5的有9.6，8.2，
所以与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率…（14分）
点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．