数列满足.
(1)计算,,,,由此猜想通项公式,并用数学归纳法证明此猜想;
(2)若数列满足,求证:.
(1)1,,, an= (n∈N*).
(2)运用数学归纳法证明来分为两步骤来加以证明即可。
【解析】
试题分析:解:(1)当n=1时,a1=S1=2-a1,∴a1=1.
当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=. 1分
当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.
当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=. 2分
由此猜想an= (n∈N*). 4分
现用数学归纳法证明如下:
①当n=1时, a1==1,结论成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立,即ak=,那么当n=k+1时,
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,
∴2ak+1=2+ak,∴ak+1===,故当n=k+1时,结论成立,
由①②知猜想an= (n∈N*)成立. 8分
(2)由(1)知,,. 9分
解法1:当时,
10分
. 12分
解法2:当时,,
10分
. 12分
解法3: 当时, 10分
. 12分
考点:数学归纳法证明
点评:主要是考查了数列的猜想以及数学归纳法的运用,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:
已知整数数列满足:,.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 将数列中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表:
……
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和,设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为,
求的值;
(3) 令 (为大于等于的正整数),问数列中是否存在连续三项成等比数列?
若存在,求出所有成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由.
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