Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，E，F分别为PC，BD的中点．

求证：(1)EF∥平面PAD；

(2)PA⊥平面PDC.

Answer 1

【答案】（1）见解析.

（2）见解析.

【解析】

(1) 连接AC，先证明EF∥PA，再证明EF∥平面PAD.(2)先证明CD⊥PA，PA⊥PD再证明PA⊥平面PDC.

证明　(1)连接AC，由于ABCD为正方形，F为BD的中点，所以A、F、C共线，F为AC的中点，又E为PC的中点，

∴EF∥PA，又EF平面PAD，PA平面PAD，

故EF∥平面PAD.

(2)由于CD⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD，且交线为AD，∴CD⊥侧面PAD，

∴CD⊥PA.

由于PA＝PD＝AD，∴PA2＋PD2＝AD2.

即PA⊥PD，又PD∩CD＝D，∴PA⊥平面PDC.