Question

已知关于x的不等式x²-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}．
（1）求实数m，n的值；
（2）若函数f（x）=-x²+4ax+4在（1，+∞）上递减，求关于x的不等式log_a（-nx²+3x+2-m）＞0（a＞0，a≠1）的解集．

Answer 1

分析：（1）根据x的不等式x²-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}，得到n和5是方程x²-4x-m=0的两个根．根据根与系数之间的关系得到结果．
（2）由题意知，二次函数的对称轴x=2a，2a≤1，得a≤

1

2

，得到a的范围是(0，

1

2

]，根据log_a（-nx²+3x+2-m）＞0得到0＜-nx²+3x+2-m＜1，得到结果．

解答：解：（1）∵x的不等式x²-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}．
由题意知，n和5是方程x²-4x-m=0的两个根，…（2分）
所以n+5=4，5n=-m，得n=-1，m=5   …（4分）
（2）由题意知，对称轴x=2a，2a≤1，得a≤

1

2

，a的范围是(0，

1

2

]…（6分）
log_a（-nx²+3x+2-m）＞0?0＜-nx²+3x+2-m＜1
即

x2+3x-4＜0 x2+3x-3＞0

，…（10分）
得-4＜x＜

-3- 21

2

或

-3+ 21

2

＜x＜1…（12分）
所以原不等式的解集为(-4，

-3- 21

2

)∪(

-3+ 21

2

，1)．…（14分）

点评：本题看出一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，本题解题的关键是求出m的值，这样才能解决第二问，本题是一个中档题目．