Question

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若同时满足条件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．求m的取值范围．

Answer 1

分析：分两步考虑：（a）求出满足①时m的范围，进而再分三种情况考虑：（i）m=-1时；（ii）-1＜m＜0时；（iii）m＜-1时，分别求出m的范围，得到满足①时m的范围；（b）再分三种情况考虑：（i）当m=-1时；（ii）当m＜-1时；（iii）当-1＜m＜0时，分别求出m的范围得到满足②时m的范围，综上所述，找出同时满足①②的范围即可．

解答：解：分两种情况考虑：
（a）由题意可知，m≥0时不能保证对?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0成立，
（i）当m=-1时，f（x）=-（x+2）²，g（x）=2^x-2，此时显然满足条件①；
（ii）当-1＜m＜0时，2m＞-（m+3），要使其满足条件①，则需-1＜m＜0且2m＜1，解得-1＜m＜0；
（iii）当m＜-1时，-（m+3）＞2m，要使其满足条件①，则需m＜-1且-（m+3）＜1，解得：-4＜m＜-1，
则满足条件①的m的取值范围为（-4，0）；
（b）在满足条件①的前提下，再探讨满足条件②的取值范围，
（i）当m=-1时，在（-∞，-4）上，f（x）与g（x）均小于0，不合题意；
（ii）当m＜-1时，则需2m＜-4，即m＜-2，所以-4＜m＜-2；
（iii）当-1＜m＜0时，则需-（m+3）＜-4，即m＞1，此时无解，
综上所述，满足①②两个条件的m的取值范围为（-4，-2）．

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，指数函数的单调性及特殊点，以及其他不等式的解法，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．