Question

(14分)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x²－y²＝1的右支交于不同的两点A、B．

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)－2<k<－．(2) k＝－．

【解析】(1)直线与双曲线方程联立消y得关于x的一元二次方程，根据判别式大于零，可求出k的取值范围.

(2) 解本题的突破口是假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x₁－c)(x₂－c)＋y₁y₂＝0，即(x₁－c)(x₂－c)＋(kx₁＋1)(kx₂＋1)＝0，

整理得：(k²＋1)x₁x₂＋(k－c)(x₁＋x₂)＋c²＋1＝0再根据韦达定理解决即可.

(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线方程2x²－y²＝1后，整理得：

(k²－2)x²＋2kx＋2＝0①

解：依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

，解得－2<k<－．

(2)设A、B两点的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，则由①式得②，

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x₁－c)(x₂－c)＋y₁y₂＝0，即(x₁－c)(x₂－c)＋(kx₁＋1)(kx₂＋1)＝0，

整理得：(k²＋1)x₁x₂＋(k－c)(x₁＋x₂)＋c²＋1＝0③

把②式及c＝代入③式化简得5k²＋2k－6＝0，解得

k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)．

可得k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．