Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4$\sqrt{3}$，AB=2CD=8．
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由线线垂直得到线面垂直推出面面垂直；（2）求出∠CDB的角度，求出PE的长，代入棱锥的体积公式即可．

解答 （1）证明：如图示：
取AD中点E，连PE，因为△PAD是等边三角形
所以PE⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD．
所以PE⊥平面ABCD 所以PE⊥BD，
在△ABD中，AB=8，AD=4，BD=4$\sqrt{3}$
所以，AB²=AD²+BD²，即BD⊥AD，
PE∩AD=E，所以BD⊥平面PAD，
BD?面BDM，所以平面MBD⊥平面PAD；
（2）解：由（1）可知∠DAB=60°，AB∥DC，
所以∠CDB=30°，PE=$2\sqrt{3}$
$\begin{array}{l}{V_{P-BDC}}=\frac{1}{3}PE•{S_{△BDC}}=\frac{1}{3}×PE×\frac{1}{2}BD•DCsin∠BDC\\=\frac{1}{6}×2\sqrt{3}×4\sqrt{3}×4×\frac{1}{2}=8\end{array}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定定理，考查柱、锥、台的体积，是一道中档题．